CONDICIONES DE DIRICHLET

CONDICIONES DE DIRICHLET¹

Se denomina así, al conjunto de condiciones que debe cumplir una función f(x) para que pueda representarse como una serie de Fourier. Para que una función  f(x) sea susceptible de ser expandida como una serie de Fourier, esta debe cumplir con las condiciones presentadas en el siguiente esquema:

• Debe ser periódica.

• Univaluada y continua a trozos (continua menos en un numero finito de puntos) con un numero finito de máximos y mínimos.

• La integral 

debe ser convergente. Donde [-T/2, T/2] indica el intervalo de definición de una función con periodo T.

Para que las series de Fourier existan, los coeficientes de Fourier deben ser finitos, esta condición garantiza su existencia. Esencialmente dice que el integral del valor absoluto de la señal debe ser finito. Los límites de integración son diferentes para el caso de las series de Fourier y de los del caso de las trasformada de Fourier. Este es el resultado que proviene directamente de las diferencias en las definiciones de las dos.

Las series de Fourier existen (los coeficientes son finitas) si

Condición 1 Las Condiciones Débiles para las Series de Fourier

Esto se puede probar usando la condición inicial de los coeficientes iniciales de las series de Fourier que pueden ser finitas

⃒

Dado que: 

entonces:

Condición 2   La transformada de Fourier existe si las condiciones débiles para la trasformada de Fourier 

Esto se puede derivar de la misma manera en la que se derivó las condiciones débiles de Dirichlet para las series de Fourier, se empieza con la definición y se demuestra que la transformada de Fourier debe de ser menor que infinito en todas partes.

LAS CONDICIONES FUERTES DE DIRICHLET

La transformada de Fourier existe si la señal tiene un número finito de discontinuidades y un número finito de máximos y mínimos. Para que las series de Fourier existan las siguientes dos condiciones se deben de satisfacer (junto con la condición débil de Dirichlet):

En un periodo,

§  f(t) tiene solo un número finito de mínimos y máximos. En un periodo,

§  f(t) tiene un numero finito de discontinuidades y cada una es finita.

Esto es lo que se conoce como las condiciones fuertes de Dirichlet. En teoría se puede pensar en señales que violan estas condiciones por ejemplo sin (log t), Sin embargo, no es posible crear esta señal en un laboratorio. Por eso, cualquier señal en el mundo real tendrá una representación de Fourier.

¹ Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805 – 1859 Matemático alemán con importantes contribuciones en teorías de números algebreicas, series y aproximaciones de funciones diferenciales parciales.